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Barycentre et minimum de la somme des carres des distances


Objectif On souhaite montrer que le barycentre minimise la somme des carrés des distances. Soit $(F, < . >)$ un espace affine euclidien de dimension finie muni de la distance usuelle et soient $A_1, \ldots A_p$ p points de l’espace. Soit $G$ le barycentre des points $A_i$ (on note $G = \bar{(A_1,a_1), \ldots, (A_p, a_p)}$) et $X$ un point de $F$. On a $a_i.XA_i^2 = a_i.(\vec{XG}+\vec{GA_i}) = XG^2 + 2\vec{XG}.